Merhaba. Bu yazı başlıktan da anlaşılacağı üzere biraz akademik oldu. Aşağıdaki soruyu bir "Üniversite Fiziği" kitabının [1] vektörler bölümünde zor (challenge) sorular arasında buldum ve beğendiğim için yayınlamak istedim. Aslında çözümü takip edebilmek için lise matematiği yeterli. Ben de (ileride okuduğumda da anlayabileyim diye) elimden geldiğince basitleştirmeye çalışacağım.
Soru: Bir koordinat sistemi döndürüldüğünde, düzlemdeki noktalar arasındaki uzaklıklar değişmez. Başka bir deyişle, (noktayı gösteren) bir vektörün büyüklüğü koordinat sisteminin döndürülmesi altında değişmezdir (invaryanttır). Bir S koordinat sisteminin (kırmızı) orijini etrafında φ açısı kadar döndürülerek, aşağıdaki gibi yeni bir S' koordinat sistemi (mavi) haline getirildiğini varsayalım.
 |
| Kaynak: Üniversite Fiziği 1 [1] |
S koordinat düzleminde (x, y) ile gösterilen P noktasının, S' sisteminde koordinatları (x', y')'dür.
(a) Döndürme dönüşümü sırasında, S'´ndeki koordinatların S koordinatları cinsinden aşağıdaki bağıntılarla ifade edildiğini gösteriniz:
Not: Yukarıdaki formül aslında φ açısının negatif yönlü (saat yönünde) olması durumunda doğrudur. Görselde açı, pozitif yönlü bir döndürme göstermektedir. Ben burada kitapta verilen orjinal formüle sadık kalmaya çalıştım.
Bu noktada iyi bir matematikçi yukarıdaki denklemleri iki boyutlu döndürme dönüşüm matrisiyle ifade eder.
Bu konu üç boyuta genellendiği zaman çok daha derin bir konu. İleride bu konu için ayrı bir yazı daha yayınlayabilirim.
(b) P noktasının orijine olan uzaklığının koordinat sisteminin döndürülmesi altında invaryant olduğunu gösteriniz. Burada şunu göstermeniz gerekir:
(c) P ve Q noktaları arasındaki mesafenin koordinat sisteminin döndürülmesi altında değişmez olduğunu gösterin. Burada şunu göstermeniz gerekir:
Ön Bilgi
Öncelikle soruda bir döndürme işlemi olduğuna göre kutupsal koordinat sistemine geçerek işlemleri basitleştirmek mümkündür. Düzlemdeki bir noktanın orijine olan dik uzaklıklarının (x, y) ikilileriyle ifade edildiği, birinci görselde de örneği görülen S sistemine kartezyen koordinat sistemi diyoruz. Yine görselde görüldüğü üzere, döndürme işlemiyle koordinat sistemi değiştirilebilir. Bunun yanında x ve y eksenlerinin birbirine dik olmaları gerekmez. Eğik koordinat sistemleri de mümkündür. Burada tek koşul eksenlerin çakışık, yani aralarındaki açının sıfır olmamasıdır, ki açının sıfır olması durumunda zaten iki boyut bir boyuta indirgenir ve elde, ilkokuldan bildiğimiz sayı doğrusu kalır: Sayı doğrusu bir boyutlu koordinat sistemidir. Diklikten söz edilemeyeceğinden kartezyen terimi anlamsızdır.
Kutupsal koordinat sisteminde (KKS) bir nokta, orjinden r uzaklığı ve orjinle oluşturduğu doğru parçasının yatay eksenle yaptığı pozitif yönlü (saat yönünün tersine) yaptığı θ açısı olmak üzere (r, θ) ikilileriyle verilir.
Not: Genel olarak N-boyutlu uzaydaki bir noktayı tam olarak ifade etmek için seçilen koordinat sisteminden bağımsız olarak N tane terim gereklidir. Örn. 3 boyutta, kartezyen koordinat sisteminde (x, y, z), küresel koordinat sisteminde (r, θ, φ) veya silindirik koordinat sisteminde (ρ, φ, z) üçlüleri kullanılır.
Dolayısıyla problemi kutupsal koordinat sisteminde aşağıdaki gibi ifade edebilirim.
 |
| Problemin KKS'de Gösterimi |
Görüleceği gibi P veya Q noktalarının yeri değişmedi. Yalnızca yerlerini başka biçimde ifade ediyoruz. Bunu 'kitap' kavramının dilden bağımsız olarak varolması ancak farklı dillerde farklı kelimelerle ifade edilmesine benzetebiliriz. Karşımda bir Portekizli varsa kavramın Portekizce'sini kullanmak kolaylık sağlar. Döndürme içeren problemlerde de aynı şekilde, koordinatı kutupsala çevirmek kolaylık sağlar. Eğer problem öteleme içerseydi, kartezyen daha avantajlı olurdu. O zaman önce bunu yapalım:
 |
| P'nin KKS'ne Dönüştürülmesi |
Verilen problemde P'nin koordinatlarının (xP, yP) olduğunu biliyorum. Ben burada basitlik açısından (x, y) olarak alıp dönüşümü yapacağım. r uzaklık olduğuna göre
P0x, dik üçgen olduğundan θ için basit trigonometrik eşitlikler kolayca yazılabilir. Örn. sin(θ) = y/r ve cos(θ) = x/r . Bu ikisini taraf tarafa bölersem (r, sıfır olamaz. Eğer olsaydı zaten P orjinde olurdu ve doğru parçası oluşmadığından açı tanımsız olurdu. Dolayısıyla bölme geçerlidir). tan(θ) = y/x bulunur. Dolayısıyla:
Tersi dönüşüm için denklemler aşağıdaki görselde geometrik olarak gösterilmiştir.
 |
| Eşitlik (1) |
Şimdi çözümlere geçebiliriz.
Çözüm
a) S koordinat sistemini φ kadar döndürmek demek, yeni koordinat sisteminde P noktasının P(x’, y’) = P(r, θ - φ) şeklinde ifade edilmesine karşılık gelir. Bu durumda trigonometrik fonksiyonların toplam-fark formüllerinden aşağıdaki eşitlik yazılır:
Sağda r parantezindeki terimleri tek tek açıp (1) denkleminde x ve y cinsinden bulduğum terimleri yerlerine koyarsam
bulunur. Bunu matris olarak ifade edersem:
 |
| Eşitlik (2) |
b)
x’ ile x ve y’ ile y arasındaki ilişkiyi göstermek için yine (1)'deki eşitlikler kullanılacak. x ve y gerçel sayılar olduğundan kök içindeki ifadeler hiçbir zaman negatif olamazlar. Bu nedenle her iki tarafın karelerini alarak köklerden kurtuluruz ve eşitlik bozulmaz. Eşitlik aşağıda gösterilmiştir:
Yukarıdaki denklemde cos2(x) + sin2(x) = 1 eşitliğinin bilindiği varsayılmıştır. P'nin KKS'de gösterildiği görselde P0x dik üçgeni göz önüne alındığında, bunun hipotenüsü r olup, dik kenar uzunlukları r*cos(θ) ve r*sin(θ)'dır. Pisagor teoremi yazılıp tüm terimler r2 ile sadeleştirilirse eşitlik kolayca ispatlanır. Birim çemberde r = 1 durumu için de eşitliğin geometrik ispatı kolayca verilebilir.
c)
eşitliğini göstermek istiyoruz. Burada yine (1)'deki eşitlikler kullanılacak. Köklerin içindeki ifadeler negatif olamazlar. Her iki tarafın karesini alarak köklerden kurtuluruz. (2)'de verilen döndürme dönüşümünden şu eşitlikler yazılır:
Bunlar biraz karışık olduğundan önce x'li terimleri sonra y'li olanları açtım.
(x'P - x'Q)2 + (y'P - y'Q)2 ifadesini elde etmek için yukarıdaki terimleri taraf tarafa toplayacağım. Yukarıda renkli işaretlenmiş terimler birbirlerini götürür. Dolayısıyla basitlik açısından bunlar toplamda yazılmamıştır.
Son olarak yukarıdaki eşitliğin sağı x'ler ve y'lerin parantezine alınıp cos2(θ) + sin2(θ) = 1 denkleminden trigonometrik fonksiyonlar sadeleştirilirse, bir parantez kare açılımı bulunur:
[1]: Moebs, W., Sanny, J., & Ling, S. J. (2016). University Physics
Volume 1. Houston, Texas: OpenStax. Link
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder